Els artistes poden ser pioners en matemàtiques?

En general, se sol considerar que les matemàtiques i l’art són disciplines molt diferents: l’una es dedica al pensament abstracte i l’altra al sentiment. Però de vegades presenten paral·lelismes molt sorprenents. Des dels enrajolats islàmics fins a les caòtiques pinzellades de Jackson Pollock, hi ha un munt d’obres que mostren similituds notables entre l’art i la recerca matemàtica. Aquestes dues maneres de pensar no són exactament iguals, però la cosa interessant és que hi ha vegades que l’una sembla que sigui precursora de l’altra. ¿L’art esperona de vegades els descobriments matemàtics? No es pot donar una resposta senzilla a aquesta pregunta, però en alguns casos sembla molt probable.

Els motius geomètrics de l’Alhambra

Fixem-nos en les ornamentacions islàmiques com les que hi ha a l’Alhambra de Granada. Durant els segles XIV i XV, l’Alhambra va ser palau i harem dels monarques amazics. Per a molts visitants és el lloc més semblant al paradís que es pot trobar a la terra: un seguit de patis amb fonts, envoltats d’arcades que ofereixen ombra i refugi. Als sostres hi ha motius geomètrics molt elaborats que semblen estalactites. La culminació d’aquesta decoració són els mosaics de colors de les parets circumdants, que enlluernen l’espectador amb un hipnotisme impregnat d’una estranya felicitat. Igual que la música, els motius geomètrics eleven l’espectador més enllà del món terrenal, és com una mena d’èxtasi celestial. Un triomf de l’art i del raonament matemàtic.

Aquestes ornamentacions exploren una branca de les matemàtiques coneguda com a tessel·lació, que fonamentalment consisteix a omplir un espai amb motius geomètrics regulars sense deixar cap buit. Les matemàtiques demostren que una superfície plana es pot cobrir amb formes simètriques de tres, quatre i sis costats, però no amb formes de cinc costats. També es poden combinar formes diferents fent servir rajoles triangulars, quadrades i hexagonals per omplir totalment un espai. A l’Alhambra hi abunden elaborades combinacions d’aquesta mena, que aparentment no són fixes sinó que sempre estan en moviment. Sembla que girin davant els nostres ulls. Posen en marxa el nostre cervell de tal manera que, al mateix temps que les mirem, distribuïm i redistribuïm els motius per formar figures diferents.

És una experiència emocional? I tant que sí. Però el que tenen de fascinant aquests mosaics islàmics és que el treball d’artistes i artesans anònims que hi ha al darrere posa de manifest un domini gairebé perfecte de la lògica matemàtica. Els matemàtics han identificat 17 tipus de simetria: simetria bilateral, simetria rotacional, etc. Al sostre de l’Alhambra n’apareixen com a mínim 16, gairebé com si fossin il·lustracions d’un llibre de text. Els motius no són només bonics, sinó també matemàticament rigorosos. Exploren amb sorprenent minuciositat les característiques fonamentals de la simetria. Però els matemàtics no van proposar l’anàlisi dels principis de la simetria fins a segles després que s’instal·lessin els mosaics de l’Alhambra.

Mosaics quasicristal·lins

Tot i ser impressionants, les ornamentacions de l’Alhambra potser s’han vist superades per una obra mestra procedent de l’antiga Pèrsia. El 1453, uns artesans anònims del temple Darb-e Imam d’Isfahan van descobrir els motius avui anomenats quasicristal·lins. Aquests motius tenen unes propietats matemàtiques complexes i misterioses que els matemàtics no van analitzar fins que, als anys setanta, es van descobrir el que es coneixen com a tessel·lacions de Penrose. Aquests motius omplen totalment un espai amb formes regulars, però amb una configuració que no es repeteix mai -de fet, no es repeteix encara que es prolongui fins a l’infinit-, tot i que la constant matemàtica coneguda com a proporció àuria hi apareix una vegada i una altra.

El científic Daniel Schechtman va guanyar el premi Nobel de química el 2001 pel descobriment dels quasicristalls, que se cenyeixen a aquest principi organitzatiu. Aquest avenç va obligar els científics a reconsiderar el concepte de la naturalesa mateixa de la matèria. El 2005, el físic de Harvard Peter James Lu va demostrar que era possible crear motius quasicristal·lins d’una manera relativament senzilla fent servir els motius anomenats girih (nus, en persa). Els motius girih combinen diverses formes geomètriques pures per formar cinc figures: un decàgon regular, un hexàgon irregular, un corbatí, un rombe i un pentàgon regular. El que és evident és que els motius quasicristal·lins de Darb-e Imam són obra d’artesans sense formació avançada en matemàtiques. Els matemàtics van tardar més de cinc segles a analitzar i expressar el que feien aquests artesans. La intuïció va precedir, doncs, la comprensió completa.

Perspectiva renaixentista

La perspectiva geomètrica va permetre retratar el món visible amb una nova versemblança i precisió, i això es va traduir en la revolució artística del Renaixement italià. Es podria argumentar que aquesta perspectiva també va portar a un replantejament en profunditat de les lleis fonamentals de les matemàtiques. Segons les matemàtiques euclidianes, dues línies paral·leles seran sempre paral·leles fins a l’infinit i mai es trobaran. En el món de la perspectiva renaixentista, però, les línies paral·leles convergeixen a la llunyania en l’anomenat punt de fuga. En altres paraules, la perspectiva renaixentista aplica una geometria que segueix les lleis matemàtiques però que no és euclidiana.

Quan els matemàtics van desenvolupar les matemàtiques no euclidianes, a principis del segle XIX, imaginaven un món en què les línies paral·leles convergien a l’infinit. La geometria que estudiaven era, en molts aspectes, semblant a la de la perspectiva renaixentista. Des d’aleshores les matemàtiques no euclidianes han arribat a l’extrem d’explorar un espai que té 12 o 13 dimensions, molt allunyat del món de la perspectiva renaixentista. Però val la pena preguntar-se si l’art renaixentista va facilitar aquest primer salt endavant.

Les caòtiques pintures de Pollock

A la nostra època, les obres de Jackson Pollock ofereixen un interessant exemple d’un art que trenca les barreres tradicionals i, a més, presenten suggerents paral·lelismes amb els últims avenços en matemàtiques. Als primers que les van veure, les pintures de Pollock els van semblar caòtiques i sense sentit. Però amb el pas del temps ens hem adonat que contenen un cert ordre, encara que no de tipus tradicional. Les seves formes són previsibles i imprevisibles alhora, com les que crea l’aigua que degota d’una aixeta: no hi ha manera de preveure l’efecte exacte de la gota següent. Però, si fem un diagrama de les pautes de distribució dels regalims amb què feia les seves obres, veiem que es troben en zones que tenen una forma i uns límits clars.

Aquesta impredictibilitat ha estat molt de temps fora de l’abast dels matemàtics. Però aquests últims anys s’ha convertit en un dels temes més candents de la recerca matemàtica. Per exemple, la teoria del caos estudia sistemes que no són previsibles però que s’engloben dins un rang de possibilitats definible, mentre que l’anàlisi fractal estudia formes semblants però no idèntiques. A Pollock no li interessaven les matemàtiques i no ens consta que tingués un especial talent en aquesta disciplina. La seva fascinació per aquestes formes era intuïtiva i subjectiva.

Curiosament, els matemàtics no han sigut capaços de descriure amb precisió què feia Pollock a les seves pintures. Per exemple, s’ha intentat aplicar l’anàlisi fractal per crear una firma numèrica del seu estil, però de moment el mètode no ha funcionat: no podem distingir matemàticament una obra original de Pollock de les males imitacions. Fins i tot és poc probable que sigui certa la idea que Pollock utilitzava pensaments fractals.

De tota manera, les pautes observables a les obres de Pollock, alhora caòtiques i ordenades, poden haver suggerit a les matemàtiques un nou i fructífer camí. Potser arribarà un moment en què podrem descriure amb eines matemàtiques el que feia Pollock, i els artistes hauran de seguir avançant i obrir nous horitzons per explorar.